我的平分三角形问题呢？😡😡😡

在做了在做了✋😭🤚

导入

我叫追风卡洛特, 是河中的超气人娼年小南梁.

今天我参加了一个节目. 节目现场共有1300人, 全部人围成一个大圈, 每个人站的位置有编号 $n,n=1,2,3, \cdots, 1300$. 游戏规则是这样的: 从1号位开始按顺时针方向 $1,2,1,2, \cdots$ 报数, 报到2的人自行出局, 如此循环, 直到剩下最后一个人. 留到最后的人赢得现场的一件礼品, 我看中了一条可爱的洛丽塔裙子😍😍😍🥰🥰🥰🤗🤗🤗😚😚😚🥺🥺🥺. 请问我该站在几号位才能获得礼品？

正片开始

这里描述的是经典的约瑟夫问题.原问题表述如下:

在罗马人占领乔塔帕特后, 39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中, 39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到, 于是决定了一个自杀方式, 41个人排成一个圆圈, 由第1个人开始报数, 每报数到第3人该人就必须自杀, 然后再由下一个重新报数, 直到所有人都自杀身亡为止. 然而Josephus 和他的朋友并不想遵从. 首先从一个人开始, 越过 $k-2$ 个人（因为第一个人已经被越过）, 并杀掉第 $k$ 个人. 接着, 再越过 $k-1$ 个人, 并杀掉第 $k$ 个人. 这个过程沿着圆圈一直进行, 直到最终只剩下一个人留下, 这个人就可以继续活着. 问题是, 给定了和, 一开始要站在什么地方才能避免被处决. Josephus 要他的朋友先假装遵从, 他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置, 于是逃过了这场死亡游戏.

（我这个问题还简化了呢

节目整这一出我也没招了. 迫于无奈, 小南梁打算在心里先列举.

• 1个人时, 胜者在1号位；
• 2个人时, 胜者在1号位；
• 3个人时, 胜者在3号位；
• 4个人时, 胜者在1号位；
• 5个人时, 胜者在3号位；
• 6个人时, 胜者在5号位；
• 7个人时, 胜者在7号位；
• 8个人时, 胜者在1号位；
• $\cdots$
• 16个人时, 胜者在1号位

这么一列举, 我们已经找到了规律: 当总人数为 $2^{n},(n\in \mathbb{N})$ 人时, 总是1号位的人赢得胜利.

下面进行证明.

问题解决

设现场有 $2^n$ 人 $(n\in \mathbb{N}^*)$

经过一圈循坏后, 现场剩余 $2^{n-1}$ 人, 而此时, 依旧从1号位的人开始报"1".于是我们可以认为开始了一场有 $2^{n-1}$ 人的游戏, 接着重复上述过程, 直到剩下2个人, 此时容易知道留下的那个人就在1号位.

面对目前1300人的情况, 只需先进行游戏直到剩下离它最近且小于它的 $2^n$ 数, 即 1024 人时, 再以这时报"1"的人的位置为1号位, 便能找到获胜者会站在的位置.

计算, 得该位置为第553号位.

卡洛特站在这个位置上, 如愿以偿得到了她喜欢的小裙裙.🤤🤤🤤

后记

本题改编于河源中学2025年高一年级数学竞赛废稿题目.

更多疑问可致信河中数协官方邮箱hyzxmath@outlook.com或者在下方评论区留言, 小南梁会耐心为您解答♡